微分方程模型

人口模型

1. Malthus（马尔萨斯人口模型）

变量表示：

• (t, P(t))：表示人口的数对，t为时间，P(t) 为 t 时刻的人口数
• b, p：分别表示出生率、死亡率

​ 比如说，2002年年初人口总数是 p ，则2002年出生的人数和死亡的人数就分别是 bp 和 dp . 所以，2003年年初的人口总数是

​ $p + bp -dp = (1 + b + d) p = (1 + r)p$

• 这里的 r 是自然增长率。该模型是离散的，但是人口数很大，人口变化（人的生死）是在短时间内随时在发生，故可以看成是连续模型。

• 类似于瞬时速度，t 时刻的人口增长率，为人口平均增长率在所用时间趋于 0 时的极限：

  ​ $r(t) = lim_{▵t\rightarrow0}\frac{P(t+▵t)-P(t)}{▵t}$

  假设:

  • 人口发展过程比较平稳；
  • 人口数量为时间的连续可微函数；
  • 人口增长率是与时间无关的常数 ;

由前面的分析可得
$P(t+▵t)-P(t)=rP(t)▵t$

​ $P(t+dt)-P(t)=rP(t)dt$ (离散形式)

​ $\frac{dP(t)}{dt}=rP(t)$ , $P(t_0)=P_0$ (连续形式)

进一步得到 Malthus 人口模型

​ $P(t)=P_0e^{r(t-t_0)}$

MATLAB代码求解

syms r P(t) t0 P0
eqn=diff(P,t)==r*P;
cond=P(t0)==P0;
PSol(t)=dsolve(eqn, cond);  % 返回符号函数symfun
simplify(PSol(t))

运行结果：
ans=P0*exp(r*(t - t0))

2 . Logistic人口模型

1. 阻滞增长模型

   ​ Malthus人口模型假设人口增长率 r 为常数，导致了人口指数增长到无穷，这是不合理的。因为没有考虑到有限的资源对种群的增长会产生遏制作用。

假设

• 人口增长率是人口数量的递减函数；

• 确定的环境内的资源供给为常数，且对每个个体的分配是均等的。这表明：当人口规模（密度）增大时，每个人食物的平均分配量必然减少，从而导致人口增长率降低。

• (对人口增长率做修正）：让它不再是常数 r，而是时间 t 的函数 ，让它通过 t 时刻人口数量来起作用，假设是这样作用：

  ​ $r(t)=r(P(t))=r(1-\frac{P(t)}{K})$

  ​

  这里 K 为新引入的参数，表示地球所能容纳的最大人口数量。

​ Malthus 时代， P(t) 相对于 K 来说很小，括号项很接近1，所以也就合理了。若取 K=+∞，就退化为 Malthus 人口模型。
​ 用 N(t) 表示 t 时刻的人口数，类似 Malthus 人口模型，可得到 Logistic 人口模型：
​

​ $\frac{dN(t)}{dt}=r(1-\frac{N(t)}{K})$

​ $N(t_0)=N_0$

仍用分离变量法就能求解：$N(t)=\frac{k}{1+Ce^{-r(t-t_0)}}$

其中 C=$\frac{K-N_0}{N_0}$

MATLAB代码求解

syms r K N(t) t0 N0
eqn = diff(N,t) == r * (1 - N/K) * N;
cond = N(t0) == N0;
NSol(t) = dsolve(eqn, cond)  % 返回符号函数symfun
simplify(NSol(t))

运行结果：

Nsol(t) = K/(exp(K*((log(K/N0-1) + r*t0)/K – (r*t)/K)) + 1)
  ans =(K*N0*exp(r*(t – t0)))/(K - N0 + N0*exp(r*(t - t0)))

考察时间 t 趋近于无穷大时的极限，可以发现结果与 Malthus 模型完全不同！

具体做法:

​ 1.先粗略（目测）估计一个 $\psi$ ，它是容纳量的界限，拐点处是它的一半，

​ 有了它再对 $\frac{N(t)}{\psi}$ 做 Logit 变换。

2. 再用线性回归估计系数 $\psi_2$,$\psi_3$，这样就得到了要估计的3个参数较好的一
   组初始值。
3. 有了这 3 个参数的较好的初始值，再做原模型的非线性拟合。

3 . Leslie 人口模型

​ 只对人口总量建模是不够的，特别是需要研究和年龄段有关的问题：老龄化、劳动力人口等。这就需要关注人口的年龄分布（每个年龄段人口的数量），适合的数学模型是基于差分方程理论的Leslie模型。
​ Leslie模型，是基于年龄和性别，将人口各年龄段的发展过程建立差分方程组，引入矩阵表示后可变成离散矩阵模型。
​ Leslie模型构建的基本原理：首先将人口按性别分组，针对女性人口，选择某初始时期，记分年龄段的女性人口数作为一个列向量；然后通过各年龄段生育率、存活率构建 Leslie 人口矩阵；接着，用Leslie人口矩阵左乘分年龄段的女性人口向量，得到新的列向量即为预测的下一阶段分年龄段的女性人口向量；最后，根据男女性别比例推算出人口总数，根据预测年龄分布可以计算平均年龄、平均寿命、老龄化指数、抚养指数等。

对女性人口按年龄切分，记为按年龄段的女性人口向量：

例如，0~4岁用 $n_0$表示，5~9岁用$n_1$表示，……，85-89岁用$n_{s-1}$ 表示，90岁及以上用 $n_s$表示，各年龄段女性人口的转移关系如下：

​ 各年龄段女性人口的转移关系图